07-图4 哈利·波特的考试

​ 哈利·波特要考试了，他需要你的帮助。这门课学的是用魔咒将一种动物变成另一种动物的本事。例如将猫变成老鼠的魔咒是haha，将老鼠变成鱼的魔咒是hehe等等。反方向变化的魔咒就是简单地将原来的魔咒倒过来念，例如ahah可以将老鼠变成猫。另外，如果想把猫变成鱼，可以通过念一个直接魔咒lalala，也可以将猫变老鼠、老鼠变鱼的魔咒连起来念：hahahehe。

​ 现在哈利·波特的手里有一本教材，里面列出了所有的变形魔咒和能变的动物。老师允许他自己带一只动物去考场，要考察他把这只动物变成任意一只指定动物的本事。于是他来问你：带什么动物去可以让最难变的那种动物（即该动物变为哈利·波特自己带去的动物所需要的魔咒最长）需要的魔咒最短？例如：如果只有猫、鼠、鱼，则显然哈利·波特应该带鼠去，因为鼠变成另外两种动物都只需要念4个字符；而如果带猫去，则至少需要念6个字符才能把猫变成鱼；同理，带鱼去也不是最好的选择。

输入格式:

​ 输入说明：输入第1行给出两个正整数N (≤100)和M，其中N是考试涉及的动物总数，M是用于直接变形的魔咒条数。为简单起见，我们将动物按1~N编号。随后M行，每行给出了3个正整数，分别是两种动物的编号、以及它们之间变形需要的魔咒的长度(≤100)，数字之间用空格分隔。

输出格式:

​ 输出哈利·波特应该带去考场的动物的编号、以及最长的变形魔咒的长度，中间以空格分隔。如果只带1只动物是不可能完成所有变形要求的，则输出0。如果有若干只动物都可以备选，则输出编号最小的那只。

输入样例:

6 11
3 4 70
1 2 1
5 4 50
2 6 50
5 6 60
1 3 70
4 6 60
3 6 80
5 1 100
2 4 60
5 2 80

输出样例:

4 70

分析：

1. 每个动物实际是一个个顶点，两个动物间可以变幻实际是两个顶点有边，而魔咒的长度就是边的权重。
2. 找最优动物实际是需要找出所有顶点到其它顶点的最短的最远距离。
3. 求两点间的距离，Floyd算法。

编码：

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

#define MaxVertexNum 100
#define INFINITY 65535
#define MaxSize 1024

typedef int Vertex;// 用整形表示顶点
typedef int WeightType; // 权重

typedef struct GNode *PtrToGNode;
typedef PtrToGNode MGraph;
struct GNode {
    //1.顶点数Nv
    int Nv;
    //2.边数Ne
    int Ne;
    //3.邻接矩阵二维数组G
    WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum];
};

typedef struct ENode *PtrToENode;
typedef PtrToENode Edge;
struct ENode {
    //1.无向边(V1,V2),V1 V2为顶点
    Vertex V1, V2;
    //2.权重Weight
    WeightType Weight;
};


// 创建零图
MGraph CreateGraph(int VertexNum) {
    // 1.创建一个有VertexNum个顶点0条边的图MGraph
    Vertex V, W;
    MGraph Graph;
    Graph = (MGraph) malloc(sizeof(struct GNode));
    Graph->Nv = VertexNum;
    Graph->Ne = 0;
    // 2.遍历,初始化二维数组,顶点的权重为无限大或-1
    for (V = 0; V < Graph->Nv; V++) {
        for (W = 0; W < Graph->Nv; W++)
            Graph->G[V][W] = INFINITY;
    }
    return Graph;
}

// 向图中插入边
void InsertEdge(MGraph Graph, Edge E) {
    // 1.插入边<v1,v2>,二维数组的顶点V1,V2写入权重Weight
    Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;
    // 2.如果是无向图还需要插入反向点，对称矩阵
    Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;
}

// 创建图,含顶点与边
MGraph BuildGraph() {
    MGraph Graph;
    Edge E;
    int Nv, i;
    //1.读入顶点个数，构造含有Nv个顶点无边的图
    scanf("%d", &Nv);
    Graph = CreateGraph(Nv);

    // 2.读入边数Ne
    scanf("%d", &(Graph->Ne));
    if (Graph->Ne != 0) {
        E = (Edge) malloc(sizeof(struct ENode));
        for (i = 0; i < Graph->Ne; i++) {
            // 3.循环读入一条边,并插入Graph中
            scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight);
            E->V1--;
            E->V2--;
            InsertEdge(Graph, E);
        }
    }
    return Graph;
}

// 求两点i,j间的最短距离
void Floyd(MGraph Graph, WeightType D[][MaxVertexNum]) {
    // 0.数组D[i][j]为i,j两点间的最短路径,path[i][j]为i,j最短路径,点j的前驱点
    Vertex i, j, k;
    // 1.初始化Vi,Vj的最短路径D为两点间的权重,路径path为-1
    for (i = 0; i < Graph->Nv; i++) {
        for (j = 0; j < Graph->Nv; j++) {
            D[i][j] = Graph->G[i][j];
        }
    }
    // 2.三重遍历，找到任意两点i,j间的最短距离及路径
    for (k = 0; k < Graph->Nv; k++) {
        for (i = 0; i < Graph->Nv; i++) {
            for (j = 0; j < Graph->Nv; j++) {
                // 3.如果找到新的k点，使得ik加kj距离小于原来的值，更新距离和路径
                if (D[i][k] + D[k][j] < D[i][j]) {
                    D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];
                }
            }
        }
    }
}

WeightType FindMaxDist(WeightType D[][MaxVertexNum], Vertex i, int N) {
    WeightType MaxDist;
    Vertex j;
    MaxDist = 0;
    for (j = 0; j < N; j++) {
        if (i != j && D[i][j] > MaxDist) {
            MaxDist = D[i][j];
        }
    }
    return MaxDist;
}

void FindAnimal(MGraph Graph) {
    WeightType D[MaxVertexNum][MaxVertexNum], MaxDist, MinDist;
    Vertex Animal, i;
    // 1.通过Floyd算法找到所有两点间最短的距离，保存在二维数组D中
    Floyd(Graph, D);
    MinDist = INFINITY;
    // 2.遍历所有的顶点
    for (i = 0; i < Graph->Nv; i++) {
        // 3.找到当前点到其它点的最长距离
        MaxDist = FindMaxDist(D, i, Graph->Nv);
        // 4.如果该点与其它点无边，则打印o
        if (MaxDist == INFINITY) {
            printf("0\n");
            return;
        }
        // 5.如果找到的MaxDist比之前的MinDist更小，则更新MinDist
        if (MaxDist < MinDist) {
            MinDist = MaxDist;
            Animal = i + 1;
        }
    }
    printf("%d %d\n", Animal, MinDist);
}

int main() {
    // 1.输入并构造图-邻接矩阵
    MGraph Graph = BuildGraph();
    // 2.找到两点间最短的最长距离，最合适动物
    FindAnimal(Graph);
    return 0;
}

小结:

1. 图的结构选择，基于Floyd算法，这里选用邻接矩阵。
2. 因为动物编号是从0开始的，在插入边及最后输出时需要注意index。